高考多選題最優選擇策略分析

前言

面對新高考數學Ⅰ卷和廣東物理卷的多選題，很多同學做題時要麼憑感覺排除選項，要麼為了求穩只選最有把握的。其實，多選題的評分規則裡藏著一套很實用的邏輯：選對部分能拿分，但只要選錯一個就直接零分。在這種情況下，每道題是該全力衝刺還是保守求穩，完全可以用「期望得分」算清楚。這篇文章不講玄學，就用最基礎的數學期望，幫你在不同情況下算出最合理的拿分策略，用計算代替猜測，在「衝高分」和「保基礎分」之間做出最理智的選擇。

離散型隨機變數的均值的含義

一般地，若離散型隨機變數 $X$ 的分布列如下表所示：

$X$	$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$P$	$p_1$	$p_2$	$\cdots$	$p_n$

則稱 $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i p_i$ 為隨機變數 $X$ 的均值或數學期望（數學期望簡稱期望）。

新高考數學Ⅰ卷：全部選對得 6 分，部分選對按比例得分（得分 = 6 × 選對個數 / 總正確個數），選錯得 0 分

① 排除1个，选出0个正确
剩余3个未知。后验：P(正确数=2)=3/4，P(正确数=3)=1/4。

选0个：期望0分
选1个：期望 ( \frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times3 + \frac{1}{4}\times1\times2 = 2 ) 分
选2个：期望 ( \frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\times6 + \frac{1}{4}\times1\times4 = 2.5 ) 分
选3个：期望 ( \frac{1}{4}\times6 = 1.5 ) 分
最优：选2个（期望2.5分）

② 排除1个，选出1个正确
剩余2个未知。后验：P(2)=2/3，P(3)=1/3。

选0个：期望 ( \frac{2}{3}\times3 + \frac{1}{3}\times2 = \frac{8}{3} \approx 2.67 ) 分
选1个：期望 ( \frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times6 + \frac{1}{3}\times4 = \frac{10}{3} \approx 3.33 ) 分
选2个：期望 ( \frac{1}{3}\times6 = 2 ) 分
最优：选1个（期望约3.33分）

③ 排除1个，选出2个正确
剩余1个未知。后验：P(2)=1/2，P(3)=1/2。

选0个：期望 ( \frac{1}{2}\times6 + \frac{1}{2}\times4 = 5 ) 分
选1个：期望 ( \frac{1}{2}\times6 = 3 ) 分
最优：选0个（期望5分）

④ 排除0个，选出1个正确
剩余3个未知。后验：P(2)=1/2，P(3)=1/2。

选0个：期望 ( \frac{1}{2}\times3 + \frac{1}{2}\times2 = 2.5 ) 分
选1个：期望 ( \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times6 + \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times4 \approx 2.33 ) 分
选2个：期望 ( \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times6 = 1 ) 分
最优：选0个（期望2.5分）

⑤ 排除0个，选出2个正确
剩余2个未知。后验：P(2)=1/3，P(3)=2/3。

选0个：期望 ( \frac{1}{3}\times6 + \frac{2}{3}\times4 = \frac{14}{3} \approx 4.67 ) 分
选1个：期望 ( \frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times6 = 2 ) 分
最优：选0个（期望约4.67分）

廣東物理卷：全部選對得 6 分，部分選對得 3 分，選錯得 0 分

① 排除1个，选出0个正确
剩余3个未知。后验：P(2)=3/4，P(3)=1/4。

选0个：0分
选1个：期望 ( \frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\times3 + \frac{1}{4}\times1\times3 = 2.25 ) 分
选2个：期望 ( \frac{3}{4}\times\frac{1}{3}\times6 + \frac{1}{4}\times1\times3 = 2.25 ) 分
选3个：期望 ( \frac{1}{4}\times6 = 1.5 ) 分
最优：选1个或2个（期望均为2.25分）

② 排除1个，选出1个正确
剩余2个未知。后验：P(2)=2/3，P(3)=1/3。

选0个：期望 ( \frac{2}{3}\times3 + \frac{1}{3}\times3 = 3 ) 分
选1个：期望 ( \frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times6 + \frac{1}{3}\times3 = 3 ) 分
选2个：期望 ( \frac{1}{3}\times6 = 2 ) 分
最优：选0个或1个（期望均为3分）

③ 排除1个，选出2个正确
剩余1个未知。后验：P(2)=1/2，P(3)=1/2。

选0个：期望 ( \frac{1}{2}\times6 + \frac{1}{2}\times3 = 4.5 ) 分
选1个：期望 ( \frac{1}{2}\times6 = 3 ) 分
最优：选0个（期望4.5分）

④ 排除0个，选出1个正确
剩余3个未知。后验：P(2)=1/2，P(3)=1/2。

选0个：期望 ( \frac{1}{2}\times3 + \frac{1}{2}\times3 = 3 ) 分
选1个：期望 ( \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times6 + \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times3 = 2 ) 分
选2个：期望 ( \frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times6 = 1 ) 分
最优：选0个（期望3分）

⑤ 排除0个，选出2个正确
剩余2个未知。后验：P(2)=1/3，P(3)=2/3。

选0个：期望 ( \frac{1}{3}\times6 + \frac{2}{3}\times3 = 4 ) 分
选1个：期望 ( \frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times6 = 2 ) 分
最优：选0个（期望4分）

結語

透過統一框架的推導可以看出，數學卷和物理卷的策略差異主要源於評分規則：數學卷部分選對按比例給分，所以在某些情況下值得適度多選去搏更高分；物理卷部分選對固定給 3 分，導致保守策略往往更優。

核心規律：

按比例部分得分规则：
① 选2个 ② 选1个 ③ 选0个 ④ 选0个 ⑤ 选0个
固定3分部分得分规则：
① 选1或2个 ② 选0或1个 ③ 选0个 ④ 选0个 ⑤ 选0个